אלכסנדר נולד כצאצא למשפחת קוזקים מאזור הדון. בבגרותו לימד מתמטיקה ושימש כאב בית בבית ספר הסמוך למוסקבה, שאף היה פנימייה לילדים יתומים. באמצע שנות ה-30 הגיעה לפנימייה ריבה רזניקובה היהודייה, ילידת 1925, שהתייתמה מאמה. בשל מצוקה כלכלית היא נשלחה לבית יתומים, וממנו עברה לפנימייה שבה לימד אלכסנדר. ריבה, שהייתה היהודייה היחידה במוסד, סבלה מהקנטות מצד חבריה לכיתה. עם זאת, היא מצאה באלכסנדר קרמרובסקי, שלימד אותה מתמטיקה, ידיד ובן ברית. אלכסנדר אף ביקש לאמצה, אולם אשתו סירבה לאמץ ילדה יהודייה, והדבר תרם, כנראה, לפרידתם.
כשפרצה המלחמה ועקב חשש של השלטונות מהפצצות הגרמנים, נשלחו ילדי בית היתומים לעבודות חקלאיות באזור נהר הדון. מכיוון שהכול ידעו שריבה יהודייה, ועל מנת לשמור על שלומה, החליט אלכסנדר, עוד לפני שהגרמנים כבשו את האזור, להימלט עימה. וכך, באישון ליל, הוא נטל את ריבה ויחד החלו השניים במסע נדודים מכפר לכפר. את ריבה הציג אלכסנדר כמרגריטה בתו, ועל צווארה ענד שרשרת שממנה השתלשל הצלב.
ב-1942 כבשו הגרמנים את האזור. ריבה הייתה כבר בת 16. במהלך נדודיהם נעצרו אלכסנדר וריבה על ידי הגרמנים ונשלחו, יחד עם אסירים רוסים, למחנה עבודת כפייה בתיקון מסילות ברזל בגבול גרמניה-אוסטריה. ריבה ואלכסנדר עבדו בתיקון פסי הרכבת עד לסיום המלחמה, ואז הגיעו למחנה המשוחרר, שבו נכלאו, חיילי הבריגדה היהודית בצבא הבריטי, שחיפשו אחר ניצולים יהודים.
ריבה מיאנה בתחילה להזדהות כיהודייה, אבל אלכסנדר עודד אותה לעשות כן. הוא עצמו חשש לשוב לרוסיה, וסבר שהשלטונות הסובייטיים יתייחסו לאזרחים שנפלו בשבי הגרמני כאל משתפי פעולה עימם. הפעם הגיע תורה של ריבה לעזור. היא הסכימה לעלות לישראל, וזאת בתנאי שאלכסנדר יתלווה אליה. כך הגיעו ריבה ואלכסנדר יחדיו למילאנו שבאיטליה, שם עבדה ריבה כטבחית בבית החייל היהודי, ששימש גם כמטה למארגני העלייה ב'. במקום הכירה ריבה לראשונה את אברהם רייס, ששירת כמפעיל רדיו ואיש הקשר מטעם המוסד לעליה ב' והפלי״ם. לאחר תקופת המתנה עלו ריבה ואלכסנדר על אוניית המעפילים "וינגייט" בדרכם ארצה.
במרץ 1946 לכדו הבריטים את האונייה והובילו את המעפילים אל מחנה המעצר בעתלית. הקשר בין ריבה לבין אברהם רייס, שהתהדק עוד במהלך ההפלגה, נמשך גם במחנה. לאחר השחרור מן המחנה נענתה ריבה להצעתו של אברהם לעבור עם אלכסנדר ולגור עימו בקיבוץ גבעות זייד (סמוך לטבעון). בקיבוץ שימש אלכסנדר כחצרן, צייר תמונות נוף רוסי בצבעי שמן, כתב מאמרים בשפה הרוסית על חייו בישראל, והרבה לטייל באזור. בדצמבר 1946 נישאו ריבה ואברהם, ועם הולדת בנם היה אלכסנדר לסב. בהדרגה התאקלם בארץ, נטש את תפיסת עולמו הקומוניסטית והפך לציוני נלהב.
מייד לאחר החלטת האו"ם מנובמבר 1947 על הקמתה של מדינת ישראל עברו ריבה ומשפחתה לדירת חדר בהרצליה. אלכסנדר עבד כפועל שכיר עם טוריה בפרדס ומכר מעט תמונות שצייר, וכך תרם לפרנסת המשפחה. ב-1950 עברה משפחת רייס ואלכסנדר עימה לגור בבאר שבע. הם נמנו עם מאה המשפחות הראשונות שהתיישבו בחולות העיר. אלכסנדר המשיך בעיסוקיו: קריאה, כתיבה, ציור, עזרה בעבודות הבית ושמירה על נכדיו. ב-1956 עברה המשפחה להתגורר במושב אורות (סמוך לקריית מלאכי).
אלכסנדר כתב רומן שבעלילתו היה אמור לשזור את חייו בישראל. עם חבריו של אלכסנדר נמנה עיתונאי וסופר תל-אביבי ממוצא רוסי בשם מרגולין, ששלח כמה מאמרים של אלכסנדר לעיתון יהודי בשפה הרוסית בניו יורק. אותו מרגולין אף דאג שסיפורו של אלכסנדר יובא לידיעת נשיא המדינה דאז יצחק בן צבי, ואלכסנדר אכן הוזמן לפגישת היכרות עימו.
במהלך 1961 עבר אלכסנדר להתגורר בארצות-הברית בעקבות הצעה שקיבל לעבוד בעיתון יהודי בשפה הרוסית. הוא נפטר בשנת 1964 ונקבר בארצות-הברית.
בשניים באוגוסט 2011 הכיר יד ושם באלכסנדר קרמרובסקי כחסיד אומות העולם.
